贵州自考线性代数（经管类）复习资料

线性代数（经管类）考点逐个击破
第一章  行列式

（一）行列式的定义
行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数.

1．二阶行列式
由4个数 得到下列式子： 称为一个二阶行列式，其运算规则为
 

2．三阶行列式
由9个数 得到下列式子：
称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采用递归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念.

3．余子式及代数余子式
设有三阶行列式  
对任何一个元素 ，我们划去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式，称它为元素 的余子式，记成
例如   ， ，
再记   ，称 为元素 的代数余子式.
例如   ， ，
那么 ，三阶行列式 定义为

我们把它称为 按第一列的展开式，经常简写成
4．n阶行列式
一阶行列式 
n阶行列式  
其中 为元素 的代数余子式.
5．特殊行列式
上三角行列式
下三角行列式
对角行列式  
（二）行列式的性质
性质1  行列式和它的转置行列式相等，即
性质2  用数k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD，也就是说，行列式可以按行和列提出公因数.
性质3  互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号.
推论1  如果行列式中有某两行（列）相同，则此行列式的值等于零.
推论2  如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零.
性质4  行列式可以按行（列）拆开.
性质5  把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为D.
定理1（行列式展开定理）
n阶行列式 等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即
或
前一式称为D按第i行的展开式，后一式称为D按第j列的展开式.
本定理说明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值.
定理2  n阶行列式 的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.即